公钥与私钥的产生
等价符号（≡）
符号 ≡ 在模运算中使用，表示两个整数除以给定模数时具有相同的余数。例如，如果a和b是两个整数，m是正整数，那么 $$a ≡ b (mod m) $$等价 $$a% m = b % m$$
原理
一句话概括 在RSA 加密方案中，选定了素数 p,q计算出N = p* q，再在小于 φ(n)的正整数中选一个和它互素的e作为公匙，它模 φ(n)的乘法逆元d 作为私匙。公开e,保留d
第一步，随机选择两个不相等的质数p和q。
alice选择了61和53。（实际应用中，这两个质数越大，就越难破解。）
第二步，计算p和q的乘积n。
alice就把61和53相乘。
$$n = 61×53 = 3233$$
n的长度就是密钥长度。3233写成二进制是$110010100001$，一共有12位，所以这个密钥就是12位。实际应用中，RSA密钥一般是1024位，重要场合则为2048位。
第三步，计算n的欧拉函数φ(n)。
根据公式：
$$φ(n)=(p−1)(q−1)φ(n) = (p-1)(q-1)φ(n)=(p−1)(q−1)$$
alice算出φ(3233)等于60×52，即3120。
第四步，随机选择一个整数e，条件是1< e < φ(n)，且e与φ(n) 互质。
alice就在1到3120之间，随机选择了17。（实际应用中，常常选择65537。）
第五步，计算e对于φ(n)的模反元素d。
所谓“模反元素”就是指有一个整数d，可以使得ed被φ(n)除的余数为1。
$ed ≡ 1 (mod φ(n))$
这个式子等价于
$$ed - 1 = kφ(n)$$
于是，找到模反元素d，实质上就是对下面这个二元一次方程求解。
$$ex + φ(n)y = 1$$
已知 e=17, φ(n)=3120，
$$17x + 3120y = 1$$
这个方程可以用“扩展欧几里得算法”求解，此处省略具体过程。总之，alice算出一组整数解为$$ (x,y)=(2753,-15)$$，即 d=2753。
至此所有计算完成。
第六步，将n和e封装成公钥，n和d封装成私钥。
在alice的例子中，$$n=3233$$ $$e=17$$，$$d=2753$$，所以公钥就是$$ (3233,17)$$，私钥就是$$（3233, 2753）$$。
实际应用中，公钥和私钥的数据都采用ASN.1格式表达（实例）。
七、RSA算法的可靠性
回顾上面的密钥生成步骤，一共出现六个数字：
p q n φ(n) e d
这六个数字之中，公钥用到了两个（n和e），其余四个数字都是不公开的。其中最关键的是d，因为n和d组成了私钥，一旦d泄漏，就等于私钥泄漏。
那么，有无可能在已知n和e的情况下，推导出d？
（1）$ed≡1 (mod φ(n)) $。只有知道e和φ(n)，才能算出d。
（2）$$φ(n)=(p-1)(q-1)$$。只有知道p和q，才能算出φ(n)。
（3）$$n=pq$$。只有将n因数分解，才能算出p和q。
结论：如果n可以被因数分解，d就可以算出，也就意味着私钥被破解。
可是，大整数的因数分解，是一件非常困难的事情。目前，除了暴力破解，还没有发现别的有效方法。维基百科这样写道：
“对极大整数做因数分解的难度决定了RSA算法的可靠性。换言之，对一极大整数做因数分解愈困难，RSA算法愈可靠。
假如有人找到一种快速因数分解的算法，那么RSA的可靠性就会极度下降。但找到这样的算法的可能性是非常小的。今天只有短的RSA密钥才可能被暴力破解。到2008年为止，世界上还没有任何可靠的攻击RSA算法的方式。
只要密钥长度足够长，用RSA加密的信息实际上是不能被解破的。”
举例来说，你可以对3233进行因数分解（61×53），但是你没法对下面这个整数进行因数分解。
12301866845301177551304949 58384962720772853569595334 79219732245215172640050726 36575187452021997864693899 56474942774063845925192557 32630345373154826850791702 61221429134616704292143116 02221240479274737794080665 351419597459856902143413
它等于这样两个质数的乘积：
33478071698956898786044169 84821269081770479498371376 85689124313889828837938780 02287614711652531743087737 814467999489 × 36746043666799590428244633 79962795263227915816434308 76426760322838157396665112 79233373417143396810270092 798736308917
事实上，这大概是人类已经分解的最大整数（232个十进制位，768个二进制位）。比它更大的因数分解，还没有被报道过，因此目前被破解的最长RSA密钥就是768位。
加密和解密
有了公钥和密钥，就能进行加密和解密了。
（1）加密要用公钥 (n,e)
假设bob要向alice发送加密信息m，他就要用alice的公钥 $$(N,e)$$ 对m进行加密。这里需要注意，m必须是整数（字符串可以取ascii值或unicode值），且m必须小于 $$N$$,如果m非常长的话，那么就需要bob将要加密的消息分段加密发送，这涉及一些padding操作，不是这里的重点，暂时忽略。
这里我们假设bob将要发送的消息格式化为数字n = 65
$$c = n^e % N$$
alice的公钥是$$ (3233, 17)$$，bob要发的消息 $$M$$假设是65，那么可以算出下面的等式：
$65 ^{17} % 3233 = 2790 $
于是，c等于2790，bob就把2790发给了alice,此时这个密文就是2790
（2）解密要用私钥(n,d)
alice拿到bob发来的秘文 2790以后，就用自己的私钥$$(3233, 2753)$$ 进行解密。可以证明，下面的等式一定成立：
$$ n = c ^ d % N$$
也就是说，c的d次方除以n的余数为m。现在，c等于2790，私钥是(n,d) => (3233, 2753)，那么，alice算出
$$2790 ^ {2753} % 3233 = 65$$ <=> $$2790^{2753} ≡ 65 (mod 3233)$$
因此，alice知道了bob加密前的原文就是65。
至此，“加密–解密"的整个过程全部完成。
我们可以看到，如果不知道d，就没有办法从c求出m。而前面已经说过，要知道d就必须分解n，这是极难做到的，所以RSA算法保证了通信安全。
你可能会问，公钥(n,e) 只能加密小于n的整数m，那么如果要加密大于n的整数，该怎么办？有两种解决方法：一种是把长信息分割成若干段短消息，每段分别加密；另一种是先选择一种"对称性加密算法”（比如AES），用这种算法的密钥加密信息，再用RSA公钥加密AES密钥。
九、私钥解密的证明
最后，我们来证明，为什么用私钥解密，一定可以正确地得到m。也就是证明下面这个式子：
$$c^d ≡ m (mod n)$$ => $$c^d % n = m$$
因为，根据加密规则
$$ｍ^e ≡ c (mod n)$$ => $$m^e % n = c$$
于是，c可以写成下面的形式：
$$c = m^e - kn$$
将c代入要我们要证明的那个解密规则：
$$ (m^e - kn)d ≡ m (mod n)$$
它等同于求证
$$m^{ed} ≡ m (mod n)$$
由于 模范运算可知：
$$ed ≡ 1 (mod φ(n)) $$
所以
$$ed = hφ(n)+1$$
将ed代入：
$$m^{hφ(n)+1} ≡ m (mod n)$$
接下来，分成两种情况证明上面这个式子。
（1）m与n互质。
根据欧拉定理，此时
$$m^{φ(n)} ≡ 1 (mod n)$$
得到
$(m^{φ(n)})h × m ≡ m (mod n)$
原式得到证明。
（2）m与n不是互质关系。
此时，由于n等于质数p和q的乘积，所以m必然等于kp或kq。
以 m = kp为例，考虑到这时k与q必然互质，则根据欧拉定理，下面的式子成立：
$$(kp)^{q-1} ≡ 1 (mod q)$$
进一步得到
$$[(kp)^{q-1}]h(p-1) × kp ≡ kp (mod q)$$
即
$$(kp)^{ed} ≡ kp (mod q)$$
将它改写成下面的等式
$$(kp)^{ed} = tq + kp$$
这时t必然能被p整除，即 t=t’p
$$(kp)^{ed} = t’pq + kp$$
因为 m=kp，n=pq，所以
$$m^{ed} ≡ m (mod n)$$